🔹 1. کمپلیکس نمبر (Complex Number) کیا ہے؟

ایک ایسا نمبر جسے $x + iy$ کی شکل میں لکھا جا سکے، اسے کمپلیکس نمبر کہتے ہیں۔

• $x$: Real Part (حقیقی حصہ) کہلاتا ہے، یعنی $Re(z) = x$

• $y$: Imaginary Part (تخیلی حصہ) کہلاتا ہے، یعنی $Im(z) = y$

• $i$ (آئیوٹا – iota): اس کی قیمت $\sqrt{-1}$ ہوتی ہے اور $i^2 = -1$ ہوتا ہے۔

🔹 اہم فارمولے اور قوانین (Important Formulas)

1. آئیوٹا کی پاورز (Powers of $i$):

• $i^2 = -1$

• $i^3 = i^2 \times i = (-1) \times i = -i$

• $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$

• اصول: $i$ کی کسی بھی بڑی جفت (even) پاور کو $(i^2)^k$ بنا کر حل کیا جاتا ہے، اور طاق (odd) پاور میں سے ایک $i$ الگ کر لیا جاتا ہے۔

2. جزر میں منفی علامت (Negative Under Square Root):

• $\sqrt{-a} = \sqrt{a} \times \sqrt{-1} = \sqrt{a}\,i$

3. کمپلیکس نمبرز کی برابری (Equality of Complex Numbers):

• اگر $a + ib = c + id$ ہو، تو Real Part = Real Part ($a = c$) اور Imaginary Part = Imaginary Part ($b = d$) ہو گا۔

2. ایکسرسائز 1.1: سوال با سوال وضاحت (Question-by-Question Solution)

❓ Question 1: Simplify the following (سادہ کیجیے)

• (i) $i^5$

  • طریقہ: $i^5 = i^4 \times i = (i^2)^2 \times i = (-1)^2 \times i = 1 \times i = i$

• (ii) $i^{16}$

  • طریقہ: $i^{16} = (i^2)^8 = (-1)^8 = 1$ (کیونکہ منفی 1 کی پاور جفت ہو تو جواب مثبت ہوتا ہے)

• (iii) $(-i)^{-19}$

  • طریقہ:

    $$\frac{1}{(-i)^{19}} = \frac{1}{(-1)^{19} \times i^{19}} = \frac{1}{-1 \times (i^2)^9 \times i} = \frac{1}{-1 \times (-1)^9 \times i} = \frac{1}{-1 \times -1 \times i} = \frac{1}{i}$$

  • مزید سادہ کرنے کے لیے اوپر نیچے $i$ سے ضرب دیں:

    $$\frac{1 \times i}{i \times i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$$

• (iv) $27 i^{-26}$

  • طریقہ:

    $$\frac{27}{i^{26}} = \frac{27}{(i^2)^{13}} = \frac{27}{(-1)^{13}} = \frac{27}{-1} = -27$$

• (v) $i^{11} + i^5$

  • طریقہ:

    • $i^{11} = (i^2)^5 \times i = (-1)^5 \times i = -i$

    • $i^5 = (i^2)^2 \times i = (1) \times i = i$

    • پس: $-i + i = 0$

• (vi) $(i^4 + i^3 + i^2 + i)^2$

  • طریقہ: تمام پاورز کی قیمتیں درج کریں:

    • $i^4 = 1$, $i^3 = -i$, $i^2 = -1$, $i = i$

    • $(1 – i – 1 + i)^2 = (0)^2 = 0$

• (vii) $\left(\frac{i^8}{i^{18}}\right)^{-5}$ (کتاب کے نوٹ میں $\frac{i^8}{i^5}$ کے مطابق حل موجود ہے):

  • طریقہ:

    $$(i^{8-5})^{-5} = (i^3)^{-5} = i^{-15} = \frac{1}{i^{15}} = \frac{1}{(i^2)^7 \times i} = \frac{1}{(-1)^7 \times i} = \frac{1}{-i}$$

  • ریشنلائز کریں:

    $$\frac{1 \times i}{-i \times i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{-(-1)} = i$$

• (viii) $i^{13} \times i^{29}$

  • طریقہ: بیس (base) ایک جیسی ہو تو پاورز جمع ہو جاتی ہیں:

    $$i^{13+29} = i^{42} = (i^2)^{21} = (-1)^{21} = -1$$

❓ Question 2: Write in terms of $i$ ($i$ کی شکل میں لکھیے)

• (i) $2 + \sqrt{-4}$

  • حل: $2 + \sqrt{4 \times (-1)} = 2 + \sqrt{4}\sqrt{-1} = 2 + 2i$

• (ii) $3 – \sqrt{-7}$

  • حل: $3 – \sqrt{7 \times (-1)} = 3 – \sqrt{7}\sqrt{-1} = 3 – \sqrt{7}i$

• (iii) $\frac{2}{5} + \frac{\sqrt{-16}}{5}$

  • حل: $\frac{2 + \sqrt{16 \times (-1)}}{5} = \frac{2 + 4i}{5} = \frac{2}{5} + \frac{4}{5}i$

• (iv) $\sqrt{2} – \sqrt{-3}$

  • حل: $\sqrt{2} – \sqrt{3 \times (-1)} = \sqrt{2} – \sqrt{3}i$

❓ Question 3: Find the values of $x$ and $y$ ($x$ اور $y$ کی قیمتیں معلوم کریں)

(اصول: Real Part کو Real Part کے برابر اور Imaginary Part کو Imaginary Part کے برابر رکھیں)

• (i) $(2x+5) + (y-3)i = 1 + 2i$

  • Real Part: $2x + 5 = 1 \implies 2x = 1 – 5 \implies 2x = -4 \implies x = -2$

  • Imaginary Part: $y – 3 = 2 \implies y = 2 + 3 \implies y = 5$

• (ii) $(3x+2) – (4-y)i = 5 + 3i$

  • Real Part: $3x + 2 = 5 \implies 3x = 3 \implies x = 1$

  • Imaginary Part: $-(4 – y) = 3 \implies -4 + y = 3 \implies y = 7$

• (iii) $(2+i)x + (1-2i)y = 3 + 4i$

  • حل: بریکٹ کھولیں:

    $$2x + xi + y – 2yi = 3 + 4i \implies (2x+y) + (x-2y)i = 3 + 4i$$

  • مساوات 1: $2x + y = 3$

  • مساوات 2: $x – 2y = 4$

  • مساوات 1 کو 2 سے ضرب دے کر مساوات 2 میں جمع کریں:

    • $4x + 2y = 6$

    • $x – 2y = 4$

    • $5x = 10 \implies x = 2$

  • $x = 2$ کو مساوات 1 میں رکھیں: $2(2) + y = 3 \implies 4 + y = 3 \implies y = -1$

  • جواب: $x = 2, y = -1$

• (iv) $(1-i)x + (2+i)y = 4 – i$

  • حل: $(x + 2y) + (-x + y)i = 4 – i$

  • مساوات 1: $x + 2y = 4$

  • مساوات 2: $-x + y = -1$

  • دونوں مساواتوں کو جمع کریں: $3y = 3 \implies y = 1$

  • $y=1$ کو مساوات 1 میں رکھیں: $x + 2(1) = 4 \implies x = 2$

  • جواب: $x = 2, y = 1$

• (v) $(3x-1) + (2y-3)i = 8 + 7i$

  • Real Part: $3x – 1 = 8 \implies 3x = 9 \implies x = 3$

  • Imaginary Part: $2y – 3 = 7 \implies 2y = 10 \implies y = 5$

🌟 امتحانات کے لیے اہم ترین سوالات (Important Questions for Board Exams)

امتحانی نقطہ نظر (Board Exams / Short Questions) کے لحاظ سے درج ذیل سوالات بہت اہم ہیں:

1. Question 1 (iii) اور (vi): $(-i)^{-19}$ اور $(i^4 + i^3 + i^2 + i)^2$ (یہ شارٹ کوئسچن میں بار بار پوچھے جاتے ہیں)۔

2. Question 2 (iii): $\frac{2}{5} + \frac{\sqrt{-16}}{5}$

3. Question 3 (iii) اور (iv): یہ ہمزاد مساواتوں (Simultaneous Equations) والے سوالات لانگ کوئسچن (Long Questions) يا اہم شارٹ کوئسچنز کے طور پر لازمی آتے ہیں۔