1. اہم مفاہیم اور فارمولے (Important Formulas)

1. کمپلیکس نمبر کا مطلق قَدَر (Modulus of a Complex Number – $\vert{}z\vert{}$):

   • اگر $z = a + bi$ ہو تو اس کا ماڈیولس $\vert{}z\vert{} = \sqrt{a^2 + b^2}$ ہوتا ہے۔

   • خاص بات: اس میں $i$ کو شامل نہیں کیا جاتا، صرف $a$ اور $b$ کے مربعات (squares) کا جزر لیا جاتا ہے۔

2. کنجوگیٹ (Conjugate – $\overline{z}$):

   • $z = a + bi \implies \overline{z} = a – bi$ (صرف تخیلی حصے کی علامت الٹ دیں)۔

3. ماڈیولس کی اہم خصوصیات (Properties):

   • $z\overline{z} = \vert{}z\vert{}^2$

      

   • $\vert{}z\vert{} = \vert{}-z\vert{} = \vert{}\overline{z}\vert{} = \vert{}-\overline{z}\vert{}$

      

4. حقیقی اور تخیلی حصہ (Real & Imaginary Parts):

   • $Re(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}$

      

   • $Im(z) = \frac{z – \overline{z}}{2i}$

      

📚 ایکسرسائز 1.3 کو سمجھنے اور حل کرنے کا طریقہ

❓ Question 1: Find Modulus ($\vert{}z\vert{}$) (ماڈیولس معلوم کرنا)

• طریقہ:

  1. دیے گئے کمپلیکس نمبر میں سے حقیقی حصہ ($a$) اور تخیلی حصہ ($b$) پہچانیں۔

  2. فارمولا $\vert{}z\vert{} = \sqrt{a^2 + b^2}$ استعمال کریں۔

  3. دونوں اعداد کے مربعات کو جمع کر کے جزر (square root) حل کر لیں۔

❓ Question 2: Conjugate Properties Verification (کنجوگیٹ کی خصوصیات کی تصدیق)

• اجزا (i) اور (ii) – جمع اور ضرب کے کا نجوگیٹ ($\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ اور $\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1}\,\overline{z_2}$):

   

  • L.H.S: پہلے بریکٹ کے اندر والے نمبرز کو جمع یا ضرب کریں، پھر آخر میں حاصل شدہ جواب کا کنجوگیٹ لیں (علامت تبدیل کریں)۔

  • R.H.S: پہلے دونوں نمبرز کا الگ الگ کنجوگیٹ لیں، پھر ان کو جمع یا ضرب دیں۔

  • دونوں طرف کا جواب یکساں آئے گا۔

• جز (iii) – تقسیم کا کنجوگیٹ ($\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$):

   

  • L.H.S: پہلے $\frac{z_1}{z_2}$ کو ریشنلائز (Rationalize) کر کے حل کریں، پھر جواب کا کنجوگیٹ لیں۔

  • R.H.S: پہلے شمار کنندہ اور مخرج کا الگ الگ کنجوگیٹ لیں، پھر ان کو تقسیم/ریشنلائز کریں۔

❓ Question 3 & 4: Modulus Properties ($z\overline{z} = \vert{}z\vert{}^2$ اور $\vert{}z\vert{} = \vert{}-z\vert{} = \vert{}\overline{z}\vert{} = \vert{}-\overline{z}\vert{}$)

• طریقہ:

  1. دیئے گئے نمبر $z$ سے $-z$ (علامتیں الٹ کر)، $\overline{z}$ (کنجوگیٹ لے کر) اور $-\overline{z}$ معلوم کریں۔

  2. تمام حاصل شدہ نمبروں کا فارمولا $\sqrt{a^2 + b^2}$ لگا کر ماڈیولس نکالیں۔

  3. آپ دیکھیں گے کہ تمام کی قیمتیں ایک ہی آتی ہیں۔

❓ Question 5: $Re(z_1 z_2)$ یا $Im(z_1 z_2)$ معلوم کرنا

• طریقہ:

  1. پہلے دیے گئے دو کمپلیکس نمبرز $z_1$ اور $z_2$ کو آپس میں عام طریقہ سے ضرب دیں۔

  2. جہاں $i^2$ آئے وہاں $-1$ درج کریں۔

  3. ضرب کے بعد جو فائنل کمپلیکس نمبر $A + Bi$ بنے، اس میں سے:

     • اگر $Re$ پوچھا ہے تو بغیر $i$ والی رقم لکھیں۔

     • اگر $Im$ پوچھا ہے تو $i$ کے ساتھ والا عدد لکھ دیں۔

❓ Examples (کسر اور پاور والے سوالات – جیسے $z = (\frac{a+bi}{c+di})^{-n}$)

• طریقہ:

  1. اگر پاور منفی (Negative Power) ہو تو اندر والی کسر کو الٹا کر کے پاور کو مثبت (+ve) بنا لیں۔

  2. اندر والے حصے کو مخرج کے کنجوگیٹ سے ضرب و تقسیم (Rationalize) کریں۔

  3. سادہ ہونے کے بعد مربع یا پاور کھولیں اور $a + bi$ کی شکل میں لا کر $Re(z)$ اور $Im(z)$ الگ کر لیں۔

🌟 امتحانات کے لیے اہم ترین سوالات (Important Questions for Board Exams)

1. شارٹ کوئسچنز (Short Questions) کے لیے:

   • Question 1: ماڈیولس ($\vert{}z\vert{}$) معلوم کرنے والے تمام اجزا (خاص طور پر کسر اور جزر والے)۔

   • Question 5: $Re(z_1 z_2)$ یا $Im(z_1 z_2)$ نکالنے والا سوال۔

2. لانگ کوئسچنز (Long Questions) کے لیے:

   • Question 2 (iii): تقسیم کے کنجوگیٹ کی تصدیق ($\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$)۔

   • Question 4: چاروں ماڈیولس برابری کی تصدیق ($\vert{}z\vert{} = \vert{}-z\vert{} = \vert{}\overline{z}\vert{} = \vert{}-\overline{z}\vert{}$)۔

   • Example 19 & 20: منفی پاور والی فریکشنز کو حل کر کے Real اور Imaginary parts الگ کرنے والے سوالات امتحانات کے لیے بے حد اہم ہیں۔