کلاس 10 - ریاضی - حل شدہ ایکسرسائز 2.7
سوال نمبر 1: قصبے کی آبادی کا مسئلہ
سوال: ایک قصبے کی آبادی کا ماڈل اس مساوات سے دیا گیا ہے: $P(t) = -2t^2 + 40t + 800$، جہاں $t$ سے مراد سال 2020 کے بعد سے سالوں کی تعداد ہے۔ وہ سال معلوم کریں جب آبادی کم از کم 1000 ہوگی۔
وضاحت اور حل:
مسئلے کو سمجھنا: ہمیں وہ وقت ($t$) معلوم کرنا ہے جب آبادی ($P(t)$) 1000 یا اس سے زیادہ ہو۔ ریاضی کی زبان میں اس کا مطلب ہے ہمیں غیر مساوات (inequality) حل کرنی ہے: $P(t) \ge 1000$۔
غیر مساوات بنانا: آبادی کی مساوات کو درج کریں:$-2t^2 + 40t + 800 \ge 1000$
سادہ کرنا: 1000 کو بائیں طرف لائیں:$-2t^2 + 40t + 800 – 1000 \ge 0$$-2t^2 + 40t – 200 \ge 0$
منفی علامت ختم کرنا: پوری غیر مساوات کو $-2$ سے تقسیم کریں۔ یاد رکھیں، جب منفی نمبر سے ضرب یا تقسیم کرتے ہیں تو غیر مساوات کی علامت الٹ جاتی ہے ($\ge$ سے $\le$ ہو جائے گی):$t^2 – 20t + 100 \le 0$
مربع مکمل کرنا: یہ بائیں طرف $a^2 – 2ab + b^2$ کا فارمولا بن رہا ہے، جہاں $a=t$ اور $b=10$:$(t – 10)^2 \le 0$
حل: کسی بھی نمبر کا مربع (square) کبھی منفی نہیں ہو سکتا۔ اس لیے، $(t – 10)^2$ صرف $0$ کے برابر ہو سکتا ہے، چھوٹا نہیں۔$t – 10 = 0$$t = 10$
سال معلوم کرنا: چونکہ $t$ سال 2020 کے بعد سے وقت ہے، اس لیے مطلوبہ سال ہوگا:
$$Year = 2020 + 10 = 2030$$جواب: سال 2030 میں آبادی کم از کم 1000 ہوگی۔
سوال نمبر 2: کمپنی کے منافع کا مسئلہ
سوال: ایک کمپنی اپنے منافع $P$ (ہزاروں روپے میں) کو اس مساوات سے ظاہر کرتی ہے: $P(x) = -5x^2 + 150x – 1000$، جہاں $x$ ایک چیز کی قیمت روپے میں ہے۔ وہ قیمت معلوم کریں جو زیادہ سے زیادہ منافع دے۔
وضاحت اور حل:
مسئلے کو سمجھنا: یہ منافع کا فنکشن (profit function) ایک الٹا کھلا ہوا پیرابولا (downward-opening parabola) ہے کیونکہ $x^2$ کا ضریب ($-5$) منفی ہے۔ زیادہ سے زیادہ منافع ہمیشہ پیرابولا کے راس (vertex) پر ہوتا ہے۔ ہمیں راس کا $x$-کوآرڈینیٹ معلوم کرنا ہے۔
ضریب پہچاننا: معیاری شکل $ax^2 + bx + c$ سے موازنہ کریں:$a = -5$, $b = 150$, $c = -1000$
راس (Vertex) کا فارمولا استعمال کرنا: راس کا $x$-کوآرڈینیٹ معلوم کرنے کا فارمولا ہے: $x = \frac{-b}{2a}$
قیمتیں درج کرنا:$x = \frac{-150}{2(-5)}$$x = \frac{-150}{-10}$$x = 15$جواب: زیادہ سے زیادہ منافع حاصل کرنے کے لیے فی چیز قیمت 15 روپے ہونی چاہیے۔
سوال نمبر 3: کھلونے والی کار کا مسئلہ
سوال: کھلونے والی کار ایک ڈھلوان سے نیچے لڑھکتی ہے اور اس کا طے کردہ فاصلہ مساوات $d = t^2 – 0.5t$ میٹر سے دیا گیا ہے، جہاں $t$ سیکنڈ میں وقت ہے۔ وہ وقت معلوم کریں جب کار نے 12.5 میٹر کا فاصلہ طے کیا ہو۔
وضاحت اور حل:
مسئلے کو سمجھنا: ہمیں وقت ($t$) معلوم کرنا ہے جب فاصلہ ($d$) 12.5 میٹر ہو۔
مساوات بنانا: فاصلے کی مساوات میں $d = 12.5$ درج کریں:$12.5 = t^2 – 0.5t$
دو درجی مساوات کی شکل دینا: تمام رقمیں ایک طرف لائیں:$t^2 – 0.5t – 12.5 = 0$
اعشاریہ ختم کرنا: مساوات کو آسان بنانے کے لیے پوری مساوات کو $2$ سے ضرب دیں:$2t^2 – t – 25 = 0$
دو درجی فارمولا استعمال کرنا: یہاں $a = 2$, $b = -1$, $c = -25$ ہے۔ فارمولا ہے: $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$
قیمتیں درج کرنا:$t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4(2)(-25)}}{2(2)}$$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 200}}{4}$$t = \frac{1 \pm \sqrt{201}}{4}$
جزر حل کرنا: $\sqrt{201}$ تقریبا $14.18$ ہوتا ہے۔$t = \frac{1 \pm 14.18}{4}$
دو ممکنہ جواب:
پلس کے ساتھ: $t = \frac{1 + 14.18}{4} = \frac{15.18}{4} = 3.795$ سیکنڈ
مائنس کے ساتھ: $t = \frac{1 – 14.18}{4} = \frac{-13.18}{4} = -3.295$ سیکنڈ
حتمی جواب: چونکہ وقت کبھی منفی (negative) نہیں ہو سکتا، اس لیے ہم منفی جواب کو نظر انداز کر دیں گے۔جواب: کار تقریبا 3.8 سیکنڈ میں 12.5 میٹر فاصلہ طے کرے گی۔
سوال نمبر 4: بال کی اونچائی کا مسئلہ (وقت کا وقفہ)
سوال: ایک بال کی اونچائی (میٹر میں) $t$ سیکنڈ کے بعد $h(t) = -4t^2 + 24t$ ہے۔ وقت کا وہ وقفہ (interval) معلوم کریں جس میں بال زمین سے کم از کم 20 میٹر اوپر ہو؟
وضاحت اور حل:
مسئلے کو سمجھنا: ہمیں وہ وقت ($t$) معلوم کرنا ہے جب اونچائی ($h(t)$) 20 میٹر یا اس سے زیادہ ہو۔ ہمیں غیر مساوات حل کرنی ہے: $h(t) \ge 20$۔
غیر مساوات بنانا:$-4t^2 + 24t \ge 20$
سادہ کرنا: 20 کو بائیں طرف لائیں:$-4t^2 + 24t – 20 \ge 0$
منفی علامت ختم کرنا: پوری غیر مساوات کو $-4$ سے تقسیم کریں۔ غیر مساوات کی علامت الٹ جائے گی:$t^2 – 6t + 5 \le 0$
متعلقہ مساوات حل کرنا: پہلے $t^2 – 6t + 5 = 0$ کو حل کر کے جذور (roots) معلوم کریں۔ تجزی (factorization) کا طریقہ استعمال کریں:$t^2 – 5t – t + 5 = 0$$t(t – 5) – 1(t – 5) = 0$$(t – 5)(t – 1) = 0$ جذور ہیں: $t = 1$ اور $t = 5$۔
وقفہ (Interval) معلوم کرنا: چونکہ غیر مساوات $\le 0$ ہے اور پیرابولا اوپر کی طرف کھل رہا ہے، اس لیے حل جذور کے درمیان والا حصہ ہوگا۔ ہم ٹیسٹ پوائنٹ $t=2$ سے چیک کر سکتے ہیں: $(2-5)(2-1) = (-3)(1) = -3$، جو کہ $0$ سے چھوٹا ہے، لہذا یہ درست ہے۔جواب: بال زمین سے کم از کم 20 میٹر اوپر وقت کے وقفے $1 \le t \le 5$ سیکنڈ میں ہوگی۔
سوال نمبر 5: بال کی زیادہ سے زیادہ اونچائی (فزکس کا مسئلہ)
سوال: ایک بال کو 40 میٹر فی سیکنڈ ($40ms^{-1}$) کی ابتدائی رفتار سے اوپر پھینکا جاتا ہے۔ وہ زیادہ سے زیادہ اونچائی معلوم کریں جو یہ بال زمین سے اوپر طے کرے گی۔
وضاحت اور حل:
مسئلے کو سمجھنا: یہ فزکس کا مسئلہ ہے جس میں حرکت کی مساواتیں (equations of motion) استعمال ہوں گی۔ زیادہ سے زیادہ اونچائی پر بال کی آخری رفتار (final velocity) صفر ہو جاتی ہے۔
معطیات (Data):
ابتدائی رفتار ($v_i$) = $40ms^{-1}$
آخری رفتار ($v_f$) = $0ms^{-1}$ (سب سے اونچے نقطے پر)
جی کی قیمت ($g$) = $-10ms^{-2}$ (چونکہ بال اوپر جا رہی ہے، اس لیے منفی لیں گے)
فاصلہ/اونچائی ($s$) = ؟
حرکت کی مساوات کا انتخاب: حرکت کی تیسری مساوات استعمال کریں: $v_f^2 = v_i^2 + 2gs$
قیمتیں درج کرنا:$(0)^2 = (40)^2 + 2(-10)s$$0 = 1600 – 20s$
حل کرنا:$20s = 1600$$s = \frac{1600}{20}$$s = 80$ میٹر جواب: بال زمین سے زیادہ سے زیادہ 80 میٹر اونچائی تک پہنچے گی۔
سوال نمبر 6: فری لانسر کی آمدنی کا مسئلہ
سوال: ایک فری لانسر کی آمدنی کا ماڈل $E(h) = -2h^2 + 40h$ ہے، جہاں $E$ روپے میں آمدنی اور $h$ فی ہفتہ کام کے گھنٹے ہیں۔ زیادہ سے زیادہ آمدنی حاصل کرنے کے لیے اسے کتنے گھنٹے کام کرنا چاہیے؟
وضاحت اور حل:
مسئلے کو سمجھنا: سوال نمبر 2 کی طرح، یہ بھی زیادہ سے زیادہ قیمت (maximize) معلوم کرنے کا مسئلہ ہے۔ یہ آمدنی کا فنکشن ایک الٹا کھلا ہوا پیرابولا ہے، اس لیے زیادہ سے زیادہ آمدنی راس (vertex) پر ہوگی۔ ہمیں راس کا $h$-کوآرڈینیٹ معلوم کرنا ہے۔
ضریب پہچاننا: $E(h) = -2h^2 + 40h$ میں:$a = -2$, $b = 40$
راس (Vertex) کا فارمولا استعمال کرنا: یہاں متغیر $h$ ہے، اس لیے فارمولا ہوگا: $h = \frac{-b}{2a}$
قیمتیں درج کرنا:$h = \frac{-40}{2(-2)}$$h = \frac{-40}{-4}$$h = 10$جواب: اپنی آمدنی کو زیادہ سے زیادہ کرنے کے لیے اسے فی ہفتہ 10 گھنٹے کام کرنا چاہیے۔
