🔹 1. اہم نظریاتی مفاہیم اور فارمولے (Theoretical Concepts & Formulas)

1. حقیقی اعداد اور کمپلیکس نمبرز کا تعلق:

   • ہر حقیقی عدد (Real Number) ایک کمپلیکس نمبر ہوتا ہے جس کا تخیلی حصہ زیرو ($0$) ہوتا ہے، یعنی $a = a + 0i$۔

2. کنجوگیٹ سے ضرب کا نتیجہ:

   • کسی بھی کمپلیکس نمبر $z$ کو اس کے کنجوگیٹ $\overline{z}$ سے ضرب دینے سے ہمیشہ ایک غیر منفی حقیقی عدد (Non-negative Real Number) حاصل ہوتا ہے، یعنی $z\overline{z} = \vert{}z\vert{}^2 = a^2 + b^2$۔

3. خالص تخیلی عدد (Pure Imaginary Number):

   • $x + iy$ اس وقت خالص تخیلی عدد بنتا ہے جب اس کا Real Part زیرو ہو ($x = 0$)۔

📚 ریویو ایکسرسائز 1: سوال با سوال رہنمائی

❓ Question 1: MCQs (متبادل جوابات کے حل کی ٹرکس)

• (i) $i^2 + i^4$: $i^2 = -1$ اور $i^4 = 1$ درج کریں۔ $-1 + 1 = 0$۔

• (ii) $(2-3i)(2+3i)$ کا Real Part: $a^2 – b^2$ فارمولا لگائیں $\implies 2^2 – (3i)^2 = 4 + 9 = 13$۔

• (iii) $(2-i)(2+i)$ کا Imaginary Part: $2^2 – i^2 = 4 + 1 = 5$۔ اس میں $i$ والی رقم باقی نہیں بچی، لہذا Imaginary Part $0$ ہے۔

• (iv) $x+iy$ خالص تخیلی کب ہوگا: جب $x = 0$ ہو۔

• (v) $5-2i$ کا Additive Inverse: تمام علامتیں بدل دیں $\implies \mathbf{-5+2i}$۔

• (vi) $1+i$ کا Multiplicative Inverse: $\frac{1}{1+i} \times \frac{1-i}{1-i} = \frac{1-i}{2} = \mathbf{\frac{1}{2} – \frac{1}{2}i}$۔

• (vii) $z = 4-3i$ کے لیے $z\overline{z}$: $z\overline{z} = \vert{}z\vert{}^2 = 4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = \mathbf{25}$۔

• (viii) $9-4i$ کا Conjugate: $i$ والے حصے کی علامت بدلیں $\implies \mathbf{9+4i}$۔

• (ix) $z = 4+4i$ کے لیے $z + \overline{z}$: $(4+4i) + (4-4i) = \mathbf{8}$ (ہمیشہ $2 \times Real\ part$ ہوتا ہے)۔

• (x) $z = 5+4i$ کا ماڈیولس $\vert{}z\vert{}$: $\sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \mathbf{\sqrt{41}}$۔

❓ Question 2: Short Answer Questions (مختصر سوالات)

• (i) کیا “0” ایک کمپلیکس نمبر ہے؟

  • جواب: جی ہاں! ہر حقیقی عدد کمپلیکس نمبر ہوتا ہے، اسے $0 + 0i$ لکھا جا سکتا ہے۔

• (ii) کمپلیکس نمبر کو اس کے کنجوگیٹ سے ضرب دینے سے کیا حاصل ہوتا ہے؟

  • جواب: ہمیشہ ایک غیر منفی حقیقی عدد (Non-negative Real Number) حاصل ہوتا ہے۔

• (iii) دو کمپلیکس نمبرز کی برابری کی شرط کیا ہے؟

  • جواب: اگر دونوں کے Real Parts آپس میں اور Imaginary Parts آپس میں برابر ہوں۔

❓ Question 3: Simplify (سادہ کرنا)

• اجزا (i) سے (iii) – آئیوٹا کی پاورز:

  • جفت پاور کو $(i^2)^k$ بنا کر حل کریں اور طاق پاور میں سے ایک $i$ الگ کر کے $-1$ درج کریں۔

• جز (iv) – ضرب $(3-4i)(5-6i)$:

  • عام بریکٹ ضرب دیں اور $i^2 = -1$ لگا کر Real اور Imaginary حصے حاصل کریں۔

• جز (v) – تقسیم $(3+4i) \div (5-7i)$:

  • کسر لکھ کر مخرج کے کنجوگیٹ ($5+7i$) سے ریشنلائز کریں۔

❓ Question 4, 5 & 6: Inverses, Properties and Operations

• Question 4 (Inverses): Additive Inverse کے لیے علامات الٹ دیں اور Multiplicative Inverse کے لیے $\frac{1}{z}$ کر کے ریشنلائز کریں۔

• Question 5 (Properties Verification): L.H.S اور R.H.S کو الگ الگ حل کر کے تصدیق کریں۔

• Question 6 (Operations): ضرب ($z_1 z_2$)، تقسیم ($\frac{z_1}{z_2}$) اور ماڈیولس ($\vert{}z_1 z_2\vert{}$) کے بنیادی فارمولے اپلائی کریں۔

❓ Question 8, 9 & 10: Advanced Equations & Finding Variables

• Question 8 (Simultaneous Equations):

  • دونوں مساواتوں کو تفریق (subtract) کریں تاکہ $iz$ ختم ہو جائے۔

  • وہاں سے $w$ کی قیمت حاصل کر کے پہلی مساوات میں درج کریں اور $z$ کی قیمت معلوم کریں۔

• Question 9 & 10 (Finding $a, b$ or $x, y$):

  • بریکٹس کو کھول کر تمام رقموں کو ایک طرف اکٹھا کریں۔

  • $i^2 = -1$ رکھ کر رقم کو $(Real) + (Imaginary)i$ کی شکل میں لائیں۔

  • دونوں طرف کے Real اور Imaginary حصوں کا موازنہ (compare) کر کے ہمزاد مساواتیں بنائیں اور حل کر کے متغیرات ($x, y$ یا $a, b$) معلوم کریں۔

🌟 امتحانات کے لیے اہم ترین سوالات (Important Questions for Board Exams)

1. شارٹ کوئسچنز (Short Questions) کے لیے:

   • Question 1: تمام MCQs (بورڈ پیپرز میں ان میں سے لازمی آتے ہیں)۔

   • Question 2: تینوں نظریاتی سوالات۔

   • Question 3: جز (iii) اور (v) (منفی پاور اور ریشنلائزیشن)۔

   • Question 7: $z = (2+7i)^{-1}$ کے Real اور Imaginary حصے نکالنا۔

2. لانگ کوئسچنز (Long Questions) کے لیے:

   • Question 8: ہمزاد مساواتوں کا حل ($iz + …$)۔

   • Question 9 اور 10: $a, b$ اور $x, y$ کی قیمتیں نکالنے والے سوالات لانگ کوئسچن کے لیے انتہائی اہم ہیں۔