🔹 اہم فارمولے اور قوانین (Key Formulas & Rules)

نوٹس پڑھتے ہوئے ان فارمولوں کو ذہن میں رکھنا ضروری ہے:

1. آئیوٹا کی بنیادی قیمت: $i^2 = -1$

    

2. جمع اور تفریق کا اصول: حقیقی حصے میں حقیقی حصہ اور تخیلی حصے میں تخیلی حصہ جمع/تفریق ہوتا ہے۔

   • $(a + ib) \pm (c + id) = (a \pm c) + i(b \pm d)$

3. الجبرا کا فارمولا (A² – B²): $(a-ib)(a+ib) = a^2 – (ib)^2 = a^2 + b^2$

    

4. جمعی معکوس (Additive Inverse): $z = a+ib \implies -z = -a-ib$ (علامتیں تبدیل کر دیں)۔

5. ضربی معکوس (Multiplicative Inverse): $z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{a+ib}$ (مخرج کے کنجوگیٹ سے اوپر نیچے ضرب دیں)۔

📚 ایکسرسائز 1.2 کو سمجھنے اور حل کرنے کا طریقہ

❓ Question 1: Simplify and write in the form $a+bi$ (سادہ کرنے کا طریقہ)

• اجزا (i) سے (iv) – جمع اور تفریق:

   

  • طریقہ: بریکٹ کھولیں۔ بغیر $i$ والی رقموں (Real Parts) کو ایک ساتھ اور $i$ والی رقموں (Imaginary Parts) کو ایک ساتھ جمع یا تفریق کر لیں۔

• اجزا (v) اور (vi) – ضرب ($z_1 \times z_2$):

   

  • طریقہ: دونوں بریکٹس کو عام الجبرا کی طرح ضرب دیں۔ جہاں $i^2$ آئے وہاں $-1$ درج کریں اور آخر میں Real اور Imaginary حصوں کو الگ کر لیں۔

• اجزا (vii) اور (viii) – تقسیم ($z_1 \div z_2$):

   

  • طریقہ: سوال کو کسر (fraction) $\frac{z_1}{z_2}$ کی شکل میں لکھیں۔ بٹے کے نیچے موجود رقم کے کنجوگیٹ (Conjugate) سے شمار کنندہ اور مخرج (اوپر اور نیچے) دونوں کو ضرب دیں (Rationalization)۔ مخرج میں $a^2 – b^2$ کا فارمولا بن جائے گا اور نیچے سے $i$ ختم ہو جائے گا۔

❓ Question 2: Additive Inverse (جمعی معکوس معلوم کرنا)

• طریقہ:

  • یہ انتہائی آسان سوال ہے! دیئے گئے کمپلیکس نمبر کی تمام علامتیں (Signs) الٹ دیں۔

  • مثبت (+) کو منفی (-) اور منفی (-) کو مثبت (+) بنا دیں۔

  • مثال: اگر $z = 3+2i$ ہے تو اس کا Additive Inverse $-z = -3-2i$ ہوگا۔

❓ Question 3: Multiplicative Inverse (ضربی معکوس معلوم کرنا)

• طریقہ:

  1. سب سے پہلے دیے گئے نمبر کو بٹے کے نیچے لکھیں: $z^{-1} = \frac{1}{a+ib}$۔

  2. اب نیچے والی رقم کے کنجوگیٹ ($a-ib$) سے اوپر اور نیچے ضرب دیں۔

  3. نیچے $a^2 – b^2$ کا فارمولا استعمال کر کے $i^2 = -1$ درج کریں۔

  4. آخر میں حقیقی حصہ ($\frac{a}{a^2+b^2}$) اور تخیلی حصہ ($\frac{b}{a^2+b^2}$) الگ الگ کر کے لکھ دیں۔

❓ Question 4: Properties Verification (خواص کی تصدیق)

• طریقہ:

  • اس سوال میں L.H.S (بائیں طرف) اور R.H.S (دائیں طرف) کو الگ الگ حل کرنا ہوتا ہے۔

  • جمع اور ضرب کے قوانین (Commutative/Associative): پہلے بریکٹ کے اندر والے حصے کو حل کریں، پھر باہر والی رقم کے ساتھ آپریشن کریں۔ دونوں طرف کا جواب بالکل برابر آئے گا۔

❓ Question 5, 6 & 7: Finding $x, y$ or $a, b$ (مجہول قیمتیں معلوم کرنا)

• طریقہ (Step-by-Step):

  1. Step 1: بائیں طرف (L.H.S) موجود رقموں کو سادہ کریں (اگر مربع ہے تو فارمولا کھولیں، اگر تقسیم ہے تو ریشنلائز کریں، یا بریکٹ ضرب دیں)۔

  2. Step 2: حل کرنے کے بعد رقم کو $A + Bi$ کی شکل میں لے آئیں۔

  3. Step 3 (موازنہ): دونوں طرف کے Real Parts کو Real کے برابر اور Imaginary Parts کو Imaginary کے برابر رکھ کر دو مساواتیں (Equations) بنا لیں۔

  4. Step 4: ان ہمزاد مساواتوں (Simultaneous Equations) کو حل کر کے $x, y$ یا $a, b$ کی قیمتیں نکال لیں۔

🌟 امتحانات کے لیے اہم ترین سوالات (Important Questions for Board Exams)

طلباء کو بتائیں کہ پیپر کی تیاری کے لیے درج ذیل سوالات پر خاص توجہ دیں:

1. شارٹ کوئسچنز (Short Questions) کے لیے:

   • Question 1: جز (vii) اور (viii) (تقسیم والے سوالات)۔

   • Question 3: جز (i) اور (iv) (Multiplicative Inverse نکالنا)۔

2. لانگ کوئسچنز (Long Questions) کے لیے:

   • Question 4: جز (iv) (Associative Law of Multiplication)۔

   • Question 5, 6, اور 7: یہ تینوں سوالات انتہائی اہم ہیں اور بورڈ کے پیپر میں لانگ کوئسچن کے طور پر بار بار آتے ہیں۔