🔹 1. اہم فارمولے اور قواعد (Key Formulas & Concepts)

1. حقیقی اور تخیلی حصہ الگ کرنا:

   • کسی بھی رقم کو حل کر کے $A + Bi$ کی شکل میں لایا جاتا ہے۔

   • $A$ کو Real Part اور $B$ کو Imaginary Part کہتے ہیں (یاد رہے کہ تخیلی حصہ لکھتے وقت $i$ ساتھ نہیں لکھا جاتا)۔

2. منفی پاورز والے فارمولے:

   • $z^{-1} = \frac{1}{z}$ (بٹے میں لے جا کر ریشنلائز کریں)۔

   • $z^{-2} = \left(\frac{1}{z}\right)^2$ (پہلے اندر ریشنلائز کریں یا پھر ہول اسکوائر کھولیں)۔

   • $\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^{-1} = \frac{z_2}{z_1}$ (کسر الٹ کر پاور مثبت بنائیں)۔

3. الجبرا کے فارمولے:

   • $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$

      

   • $(a – b)(a + b) = a^2 – b^2$

      

📚 ایکسرسائز 1.4: سوال با سوال رہنمائی

❓ Question 1: Find Real and Imaginary Parts (حقیقی اور تخیلی حصہ معلوم کرنا)

• جز (i) – اسکوائر والے سوال $(8-3i)^2$:

   

  • طریقہ: اس پر $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$ کا فارمولا لگائیں۔ جہاں $i^2$ آئے وہاں $-1$ درج کریں۔ سادہ کر کے Real اور Imaginary حصوں کی قیمتیں الگ لکھیں۔

• اجزا (ii) اور (iii) – پاور منفی 1 والے سوالات $(a+bi)^{-1}$:

   

  • طریقہ: پہلے رقم کو $\frac{1}{a+bi}$ لکھیں۔ پھر مخرج کے کنجوگیٹ سے اوپر نیچے ضرب (Rationalize) دیں۔ بٹا الگ الگ کر کے حقیقی اور تخیلی حصے نکالیں۔

• جز (iv) – منفی دو پاور $(4-3i)^{-2}$:

   

  • طریقہ: اس کو $\left(\frac{1}{4-3i}\right)^2$ لکھیں۔ پہلے اندر بریکٹ میں ریشنلائز کر لیں، پھر جو حاصل ضرب آئے اس کا اسکوائر ($A^2+2AB+B^2$) کھول کر 625 پر تقسیم کریں۔

• جز (v) – الٹی کسر $(\frac{3+2i}{4+3i})^{-1}$:

   

  • طریقہ: منفی پاور ختم کرنے کے لیے کسر الٹا دیں: $\frac{4+3i}{3+2i}$۔ اب مخرج ($3+2i$) کے کنجوگیٹ ($3-2i$) سے اوپر نیچے ضرب دے کر سادہ کریں۔

• اجزا (vi) اور (vii) – ہول اسکوائر کسر $(\frac{z_1}{z_2})^2$ یا $(\frac{z_1}{z_2})^{-2}$:

   

  • طریقہ: اگر پاور منفی ہو تو کسر الٹا کر مثبت بنا لیں۔ پہلے بریکٹ کے اندر والے حصے کو ریشنلائز کریں۔ سادہ شکل بننے کے بعد اس کا مربع کھولیں، $i^2 = -1$ رکھیں اور Real اور Imaginary حصے الگ الگ کر لیں۔

❓ Question 2: Solve Simultaneous Linear Equations for $z$ and $w$ (ہمزاد مساواتوں کا حل)

یہ اس باب کا سب سے اہم سوال ہے جس میں دو نا معلوم کمپلیکس متغیرات (Variables) $z$ اور $w$ معلوم کرنے ہوتے ہیں۔

• طریقہ کار (Step-by-Step Substitution Method):

  1. مساوات 1 سے قیمت نکالنا: دونوں میں سے کسی ایک آسان مساوات کا انتخاب کریں اور اس میں سے کسی ایک متغیر (مثلاً $w$ یا $z$) کی قیمت دوسرے کی شکل میں نکال لیں (اسے مساوات iii کا نام دیں)۔

  2. قیمت درج کرنا: اس حاصل شدہ قیمت کو دوسری مساوات میں درج کریں۔

  3. ایل سی ایم / ریشنلائزیشن: بریکٹس کھولیں اور $i^2 = -1$ لگا کر ایک متغیر (مثلاً $z$) کی قیمت حاصل کر لیں۔

  4. دوسرا متغیر نکالنا: $z$ کی حاصل شدہ قیمت کو واپس مساوات (iii) میں درج کر کے $w$ کی قیمت معلوم کر لیں۔

📖 ریویو ایکسرسائز 1 (Review Exercise 1)

متبادل جوابات (MCQs) کو حل کرنے کے لیے شارٹ کٹ ٹرکس:

• سوال (i): $i^2 + i^4 = \text{?}$

   

  • طریقہ: $i^2 = -1$ اور $i^4 = 1$ درج کریں۔ $-1 + 1 = 0$۔ (درست جواب: b)

• سوال (ii): $(2-3i)(2+3i)$ کا Real Part:

   

  • طریقہ: $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$ کا فارمولا لگائیں $\implies 2^2 – (3i)^2 = 4 – 9(-1) = 4 + 9 = 13$۔ اس میں کوئی $i$ نہیں بچا، اس لیے Real Part مکمل 13 ہے۔ (درست جواب: d)

🌟 امتحانات کے لیے اہم ترین سوالات (Important Board Exam Questions)

طلبا کو امتحانات کے لیے ان سوالات کی خاص مشق کروائیں:

1. شارٹ کوئسچنز (Short Questions):

   • Question 1: جز (iv) اور (vii) (منفی پاور اور اسکوائر والی فریکشنز)۔

   • Review Exercise: MCQs 1 اور 2۔

2. لانگ کوئسچنز (Long Questions):

   • Question 2: ہمزاد مساواتوں والے تمام اجزا—خصوصاً جز (i)، (iii) اور (v)—بورڈ کے پیپر میں لانگ کوئسچن کے طور پر لازمی پوچھے جاتے ہیں۔