یونٹ 2: دو درجی مساواتیں اور غیر مساواتیں (Ex: 2.1)
2.1 دو درجی مساوات (Quadratic Equation) کا تعارف
ایک ایسی مساوات جس میں متغیر (variable) کی زیادہ سے زیادہ پاور (درجہ) دو ہو، دو درجی مساوات کہلاتی ہے[cite: 1]۔
معیاری شکل (Standard Form):
جہاں $a, b, c$ حقیقی اعداد ہیں اور $a \neq 0$[cite: 1]۔
اگر $b = 0$ ہو جائے، تو مساوات $ax^2 + c = 0$ بن جاتی ہے، جسے خالص دو درجی مساوات (Pure Quadratic Equation) کہتے ہیں[cite: 1]۔
مساوات حل کرنے کے طریقے (Methods of Solving)
اس یونٹ میں ہم مساوات کو حل کرنے کے تین اہم طریقے سیکھیں گے[cite: 1]:
بذریعہ تجزی (Factorization Method)[cite: 1]
بذریعہ تکمیل مربع (Completing Square Method)[cite: 1]
بذریعہ دو درجی فارمولا (Quadratic Formula Method)[cite: 1]
(a) تجزی کا طریقہ (Factorization Method)[cite: 1]
اس طریقے میں ہم درمیانی رقم ($bx$) کو دو ایسے حصوں میں توڑتے ہیں کہ ان کا مجموعہ $b$ کے برابر ہو اور ان کا حاصل ضرب $a \times c$ کے برابر ہو[cite: 2]۔ اسے “Mid-term breaking” بھی کہتے ہیں۔
مثال 1 (کتاب سے): حل کریں $x^2 + \frac{7}{3}x = 2$[cite: 1]
معیاری شکل میں لائیں: پہلے پوری مساوات کو 3 سے ضرب دے کر بٹا ختم کریں[cite: 1]۔
$$3x^2 + 7x = 6 \implies 3x^2 + 7x – 6 = 0$$[cite: 1]
درمیانی رقم توڑیں: ہمیں ایسے دو نمبر چاہیے جنہیں جمع کریں تو 7 آئے اور ضرب دیں تو $3 \times (-6) = -18$ آئے[cite: 1]۔ وہ نمبر 9 اور -2 ہیں[cite: 1]۔
$$3x^2 + 9x – 2x – 6 = 0$$[cite: 1]
مشترک (Common) لیں:
$$3x(x + 3) – 2(x + 3) = 0 \implies (x + 3)(3x – 2) = 0$$[cite: 1]
حل معلوم کریں: “Zero Product Property” استعمال کریں (اگر دو رقموں کا حاصل ضرب زیرو ہے، تو ان میں سے کوئی ایک یا دونوں زیرو ہیں)[cite: 1]۔
$x + 3 = 0 \implies x = -3$[cite: 1]
$3x – 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$[cite: 1] حل سیٹ (Solution Set): $\{-3, \frac{2}{3}\}$[cite: 1]
(b) تکمیل مربع کا طریقہ (Completing Square Method)[cite: 1]
اگر کسی مساوات کی تجزی (factorization) آسان نہ ہو، تو یہ طریقہ استعمال کیا جاتا ہے[cite: 1]۔ اس میں ہم مساوات کو $(a+b)^2$ یا $(a-b)^2$ کی شکل دیتے ہیں[cite: 2]۔
مراحل (Steps):
مستقل رقم (Constant term $c$) کو برابر کی دوسری طرف لے جائیں[cite: 1]۔
اگر $x^2$ کے ساتھ کوئی عددی ضریب ($a$) ہے، تو پوری مساوات کو اس سے تقسیم کر کے $x^2$ کا ضریب 1 بنائیں[cite: 1]۔
اہم مرحلہ: $x$ کے ضریب (coefficient) کے آدھے کا مربع مساوات کے دونوں طرف جمع کریں[cite: 1]۔ (آدھا معلوم کرنے کے لیے ضریب کو $\frac{1}{2}$ سے ضرب دیں)۔
مربع مکمل کریں، جزر لیں اور حل کریں[cite: 1]۔
مثال 3 (کتاب سے): حل کریں $3x^2 – 32 = -10x$[cite: 1]
ترتیب دیں: $3x^2 + 10x = 32$[cite: 1]
$x^2$ کا ضریب 1 بنائیں: 3 سے تقسیم کریں[cite: 1]۔
$$x^2 + \frac{10}{3}x = \frac{32}{3}$$[cite: 1]
مربع جمع کریں: $x$ کا ضریب $\frac{10}{3}$ ہے[cite: 1]۔ اس کا آدھا $\frac{10}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{3}$ ہے[cite: 1]۔ اب $(\frac{5}{3})^2$ دونوں طرف جمع کریں[cite: 1]۔
$$x^2 + \frac{10}{3}x + (\frac{5}{3})^2 = \frac{32}{3} + (\frac{5}{3})^2$$[cite: 1]
حل کریں: بایاں حصہ $(x + \frac{5}{3})^2$ بن گیا[cite: 1]۔
$$(x + \frac{5}{3})^2 = \frac{32}{3} + \frac{25}{9} = \frac{96+25}{9} = \frac{121}{9}$$[cite: 1]
$$(x + \frac{5}{3})^2 = (\frac{11}{3})^2$$[cite: 1] جزر لینے سے: $x + \frac{5}{3} = \pm \frac{11}{3}$[cite: 1]
$x = \frac{11}{3} – \frac{5}{3} = \frac{6}{3} = 2$[cite: 1]
$x = -\frac{11}{3} – \frac{5}{3} = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3}$[cite: 1] حل سیٹ: $\{2, -5\frac{1}{3}\}$[cite: 1]
(c) دو درجی فارمولا (Quadratic Formula Method)[cite: 3]
یہ طریقہ سب سے آسان اور ہر قسم کی دو درجی مساوات کے لیے کارآمد ہے[cite: 3]۔ یہ فارمولا تکمیل مربع کے طریقے سے ہی اخذ کیا گیا ہے[cite: 2]۔
دو درجی فارمولا:
[cite: 3]
مثال 4 (کتاب سے): حل کریں $3x^2 + 7x – 6 = 0$[cite: 3]
موازنہ کریں: معیاری شکل $ax^2 + bx + c = 0$ سے موازنہ کر کے $a, b, c$ کی قیمتیں نکالیں[cite: 3]۔$a = 3, b = 7, c = -6$[cite: 3]
فارمولے میں قیمتیں رکھیں:
$$x = \frac{-(7) \pm \sqrt{(7)^2 – 4(3)(-6)}}{2(3)}$$$$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 72}}{6} = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{6} \\ x = \frac{-7 \pm 11}{6}$$[cite: 3]
حل کریں:
$x = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$[cite: 3]
$x = \frac{-7 – 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3$[cite: 3] حل سیٹ: $\{\frac{2}{3}, -3\}$[cite: 3]
(d) گراف کے ذریعے حل (Graphical Method)[cite: 4]
دو درجی مساوات کا گراف ایک پیرابولا (Parabola) یعنی U کی شکل کا ہوتا ہے[cite: 4]۔
اگر $x^2$ کا ضریب ($a$) مثبت (+) ہو، تو گراف اوپر کی طرف کھلتا ہے ($\cup$)[cite: 4]۔
اگر $a$ منفی (-) ہو، تو گراف نیچے کی طرف کھلتا ہے ($\cap$)[cite: 4]۔
طریقہ: مساوات کو $y = ax^2 + bx + c$ کے برابر فرض کریں[cite: 4]۔ $x$ کی مختلف قیمتیں لے کر $y$ معلوم کریں اور پوائنٹس کو گراف پیپر پر پلاٹ کریں[cite: 4]۔ گراف جہاں X-axis کو کاٹتا ہے، وہ مساوات کے حل (roots) ہوتے ہیں[cite: 4]۔
حل شدہ مشق 2.1 (Solved Exercise 2.1)
سوال 1: معیاری شکل ($ax^2 + bx + c = 0$) میں لکھیں[cite: 4]
(ii) $2x(x + 1) = 4(2x + 3)$[cite: 4]
بریکٹ کھولیں: $2x^2 + 2x = 8x + 12$[cite: 4]
تمام رقمیں ایک طرف لائیں: $2x^2 + 2x – 8x – 12 = 0$[cite: 4]
جواب: $2x^2 – 6x – 12 = 0$ (یا 2 سے تقسیم کر کے $x^2 – 3x – 6 = 0$ بھی لکھ سکتے ہیں)[cite: 4]
(v) $2x + \frac{1}{x} = 5 – \frac{1}{x}$ ($x \neq 0$)[cite: 4]
بٹا ختم کرنے کے لیے پوری مساوات کو $x$ سے ضرب دیں[cite: 4]۔
$$x(2x) + x(\frac{1}{x}) = x(5) – x(\frac{1}{x})$$$$2x^2 + 1 = 5x – 1$$[cite: 4]
ترتیب دیں: $2x^2 – 5x + 1 + 1 = 0$[cite: 4]
جواب: $2x^2 – 5x + 2 = 0$[cite: 4]
سوال 2: تجزی (Factorization) کے طریقے سے حل کریں[cite: 4]
(i) $x^2 – x – 6 = 0$[cite: 4]
ضرب دیں تو -6 آئے، جمع کریں تو -1 آئے۔ وہ نمبر -3 اور +2 ہیں[cite: 4]۔
$$x^2 – 3x + 2x – 6 = 0$$[cite: 4]
$$x(x – 3) + 2(x – 3) = 0$$$$(x – 3)(x + 2) = 0$$[cite: 4]
$x – 3 = 0 \implies x = 3$[cite: 4]
$x + 2 = 0 \implies x = -2$[cite: 4]
حل سیٹ: $\{3, -2\}$[cite: 4]
(v) $\frac{3x – 8}{x – 2} = \frac{5x – 2}{x + 5}$[cite: 5]
ترچھی ضرب (Cross Multiplication) کریں:
$$(3x – 8)(x + 5) = (5x – 2)(x – 2)$$[cite: 5]
$$3x^2 + 15x – 8x – 40 = 5x^2 – 10x – 2x + 4$$$$3x^2 + 7x – 40 = 5x^2 – 12x + 4$$[cite: 5]
معیاری شکل میں لائیں:
$$0 = 5x^2 – 3x^2 – 12x – 7x + 4 + 40$$$$2x^2 – 19x + 44 = 0$$[cite: 5]
تجزی کریں (ضرب کریں تو $2 \times 44 = 88$ آئے، جمع کریں تو -19 آئے۔ نمبر -11 اور -8 ہیں)[cite: 5]۔
$$2x^2 – 11x – 8x + 44 = 0$$[cite: 5]
$$x(2x – 11) – 4(2x – 11) = 0$$$$(2x – 11)(x – 4) = 0$$[cite: 5]
$x = \frac{11}{2}$ یا $x = 4$[cite: 5]
حل سیٹ: $\{\frac{11}{2}, 4\}$[cite: 5]
سوال 3: تکمیل مربع (Completing Square) سے حل کریں[cite: 5]
(i) $2x^2 + 5x + 2 = 0$[cite: 6]
2 کو دوسری طرف لے جائیں: $2x^2 + 5x = -2$[cite: 6]
$x^2$ کا ضریب 1 بنانے کے لیے 2 سے تقسیم کریں[cite: 6]۔
$$x^2 + \frac{5}{2}x = -1$$[cite: 6]
$x$ کے ضریب ($\frac{5}{2}$) کا آدھا $\frac{5}{4}$ ہے[cite: 6]۔ $(\frac{5}{4})^2$ دونوں طرف جمع کریں[cite: 6]۔
$$x^2 + \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 = -1 + (\frac{5}{4})^2$$[cite: 6]
$$(x + \frac{5}{4})^2 = -1 + \frac{25}{16} = \frac{-16 + 25}{16} = \frac{9}{16}$$[cite: 6]
جزر لیں: $x + \frac{5}{4} = \pm \frac{3}{4}$[cite: 6]
$x = \frac{3}{4} – \frac{5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$[cite: 6]
$x = -\frac{3}{4} – \frac{5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$[cite: 6]
حل سیٹ: $\{-\frac{1}{2}, -2\}$[cite: 6]
سوال 4: دو درجی فارمولا (Quadratic Formula) استعمال کریں[cite: 6]
(v) $\frac{x+4}{x-4} + \frac{x-2}{x-3} = 6\frac{1}{3}$[cite: 7]
پہلے مساوات کو سادہ کر کے معیاری شکل میں لائیں[cite: 7]۔ ایل سی ایم (LCM) لیں[cite: 7]۔
$$\frac{(x+4)(x-3) + (x-2)(x-4)}{(x-4)(x-3)} = \frac{19}{3}$$[cite: 7]
$$\frac{(x^2+x-12) + (x^2-6x+8)}{x^2-7x+12} = \frac{19}{3}$$[cite: 7]
$$\frac{2x^2 – 5x – 4}{x^2 – 7x + 12} = \frac{19}{3}$$[cite: 7]
ترچھی ضرب دیں:
$$3(2x^2 – 5x – 4) = 19(x^2 – 7x + 12)$ $$$6x^2 – 15x – 12 = 19x^2 – 133x + 228$$[cite: 7]
معیاری شکل: $13x^2 – 118x + 240 = 0$[cite: 7]
اب فارمولا استعمال کریں: $a = 13, b = -118, c = 240$[cite: 7]
$$x = \frac{-(-118) \pm \sqrt{(-118)^2 – 4(13)(240)}}{2(13)}$ $$$x = \frac{118 \pm \sqrt{13924 – 12480}}{26} = \frac{118 \pm \sqrt{1444}}{26}$$[cite: 7]
$$x = \frac{118 \pm 38}{26}$$[cite: 7]
$x = \frac{118 + 38}{26} = \frac{156}{26} = 6$[cite: 7]
$x = \frac{118 – 38}{26} = \frac{80}{26} = \frac{40}{13}$[cite: 7]
حل سیٹ: $\{6, \frac{40}{13}\}$[cite: 7]
امید ہے یہ گائیڈ آپ کے لیے مددگار ثابت ہوگی! نوٹس کے لیے ویب سائٹ وزٹ کرنا نہ بھولیں
