(Ex: 2.3)
سوال 1:
“جڑیں دے کر مساوات بناؤ”
یہاں ہمیں دو جڑیں (roots) دی گئی ہیں، اور ہمیں وہ دو درجی مساوات (quadratic equation) بنانی ہے جس کی یہ جڑیں ہوں۔
کیسے کریں گے؟
ہم جانتے ہیں کہ اگر کسی مساوات کی جڑیں α اور β ہیں، تو مساوات کا فارمولا ہے:x² – (α+β)x + (α×β) = 0
تو ہم کیا کریں گے؟
پہلے جڑوں کا جمع (sum) اور ضرب (product) نکالیں گے، پھر اِن کو فارمولے میں ڈال کر مساوات بنا لیں گے۔
بس اتنا ہی ہے۔
سوال 2:
“دی گئی مساوات کی جڑوں سے 2 زیادہ جڑوں والی نئی مساوات بناؤ”
یہاں ایک مساوات دی گئی ہے، اور کہا گیا ہے کہ اِس کی اصلی جڑوں میں 2 کا اضافہ کر کے نئی جڑیں بناو، پھر اِن نئی جڑوں سے ایک نئی مساوات بناؤ۔
کیسے کریں گے؟
پہلے دی گئی مساوات سے اصلی جڑوں کا مجموعہ اور ضرب معلوم کریں گے (فارمولے
-b/aاورc/aسے)۔پھر نئی جڑوں کا مجموعہ اور ضرب نکالیں گے (کیونکہ ہر جڑ میں 2 کا اضافہ ہوا ہے، تو مجموعے میں 4 کا اضافہ ہوگا اور ضرب کا فارمولا بدلے گا)۔
آخر میں نئی جڑوں سے مساوات بنا لیں گے۔
مقصد: بس یہ دیکھنا ہے کہ جڑوں میں تبدیلی سے مساوات کیسے بدلتی ہے۔
سوال 3:
“جڑوں کو دوگنا کرکے نئی مساوات بناؤ”
یہاں بھی ایک مساوات دی گئی ہے، اور کہا گیا ہے کہ اِس کی جڑوں کو دوگنا (double) کر کے نئی مساوات حاصل کرو۔
کیسے کریں گے؟
پہلے دی گئی مساوات سے اصلی جڑوں کا مجموعہ اور ضرب معلوم کریں گے۔
پھر نئی جڑیں (جو اصل جڑوں کی دوگنی ہیں) کا مجموعہ اور ضرب نکالیں گے۔
مجموعہ =
2 × (اصل مجموعہ)ضرب =
4 × (اصل ضرب)
پھر اِن نئی جڑوں سے مساوات بنا لیں گے۔
مقصد: جڑوں کو کسی عدد سے ضرب دینے سے مساوات پر کیا اثر پڑتا ہے۔
سوال 4:
“دی گئی مساوات کی جڑوں α اور β ہیں، اِن سے مختلف نئی جڑیں بنا کر مساوات حاصل کرو”
یہاں ایک ہی مساوات دی گئی ہے، اور اُس کی جڑوں α اور β کو استعمال کرتے ہوئے پانچ مختلف قسم کی نئی جڑیں بنانی ہیں، اور ہر بار ایک نئی مساوات حاصل کرنی ہے۔
کیسے کریں گے؟
پہلے
α+βاورα×βمعلوم کریں گے۔پھر ہر ذیلی سوال میں دی گئی نئی جڑوں کا مجموعہ اور ضرب نکالیں گے (جیسے
1/α, 1/βیاα², β²وغیرہ)۔آخر میں اِن نئی جڑوں سے مساوات بنا لیں گے۔
مقصد: جڑوں پر مختلف ریاضیاتی عمل (جیسے الٹ، مربع، وغیرہ) کرکے نئی مساوات بنانا سیکھنا ہے۔
سوال 5:
“شرط معلوم کرو کہ جڑیں ایک دوسرے کی الٹ (reciprocal) ہوں”
یہاں ایک عام مساوات ax²+bx+c=0 دی گئی ہے، اور پوچھا گیا ہے کہ اِس کی جڑوں کے ایک دوسرے کی الٹ ہونے کی کیا شرط ہے۔
کیسے کریں گے؟
اگر جڑیں
αاور1/αہیں، تو اِن کی ضرب = 1 ہوگی۔ہم جانتے ہیں کہ کسی بھی مساوات کی جڑوں کی ضرب =
c/aہوتی ہے۔تو شرط یہ ہوگی:
c/a = 1یعنیc = a۔
مقصد: جڑوں کے درمیان تعلق کو شرط کی شکل میں ظاہر کرنا۔
سوال 6:
“k کی قیمت معلوم کرو جب ایک جڑ دی گئی ہو”
یہاں ایک مساوات دی گئی ہے جس میں k ہے، اور بتایا گیا ہے کہ اِس کی ایک جڑ 3 ہے۔
ہمیں k کی قیمت معلوم کرنی ہے۔
کیسے کریں گے؟
چونکہ
3جڑ ہے، تو ہمx=3مساوات میں ڈال دیں گے۔مساوات صرف
kکی صورت میں بن جائے گی، اِسے حل کرکےkنکال لیں گے۔
مقصد: جڑ کی مدد سے نامعلوم عدد (parameter) معلوم کرنا۔
سوال 7:
“m کی قیمت معلوم کرو جب مجموعہ اور ضرب میں تعلق دیا ہو”
یہاں ایک مساوات دی گئی ہے جس میں m ہے، اور کہا گیا ہے کہ جڑوں کا مجموعہ، ضرب کے دوگنا کے برابر ہے۔
کیسے کریں گے؟
پہلے
SاورPکے فارمولے-b/aاورc/aسے نکالیں گے۔پھر دی گئی شرط
S = 2Pمیں ڈال کرmمعلوم کریں گے۔
مقصد: جڑوں کے تعلق سے مساوات کے کسی عدد کو معلوم کرنا۔
سوال 8:
“دو مساواتوں کی جڑوں کا آپس میں تعلق ثابت کرو”
یہاں دو مساوات دی گئی ہیں:
پہلی کی جڑیں
α, βہیں۔دوسری کی جڑیں
α², β²ہیں۔
ہمیں دوسری مساوات کےAاورBکو پہلی مساوات کےaاورbکے ذریعے ظاہر کرنا ہے۔
کیسے کریں گے؟
پہلی مساوات سے
α+βاورαβنکالیں گے۔دوسری مساوات کی جڑوں کا مجموعہ
α²+β²اور ضربα²β²نکالیں گے۔اِن کو پہلی مساوات کے
aاورbسے بدل کرAاورBحاصل کریں گے۔
مقصد: دو مساواتوں کے درمیان تعلق کو ریاضیاتی طور پر ثابت کرنا۔
مشق 2.4 (نوعیت جڑوں کی):
“بغیر حل کیے جڑوں کی نوعیت معلوم کرو”
یہاں مختلف مساوات دی گئی ہیں، اور ہمیں بغیر حل کیے بتانا ہے کہ اِن کی جڑیں کس قسم کی ہیں (ناطق، غیر ناطق، حقیقی مساوی، یا خیالی)۔
کیسے کریں گے؟
ہم
b² - 4ac(جسے discriminant کہتے ہیں) نکالیں گے۔پھر اُس کی قیمت اور نوعیت دیکھ کر فیصلہ کریں گے:
مثبت کامل مربع → ناطق
مثبت غیر کامل مربع → غیر ناطق
صفر → حقیقی مساوی
منفی → خیالی
مقصد: discriminant کی مدد سے جڑوں کے بارے میں فیصلہ کرنا سیکھنا۔
آخری مثال (k کی قیمت):
“مساوات کی جڑیں مساوی ہیں، k معلوم کرو”
یہاں ایک مساوات دی گئی ہے جس میں k ہے، اور کہا گیا ہے کہ اِس کی جڑیں برابر (equal) ہیں۔
کیسے کریں گے؟
برابر جڑوں کی شرط ہے:
discriminant = 0۔مساوات سے
a, b, cنکال کرb² - 4ac = 0میں ڈالیں گے اورkمعلوم کریں گے۔
مقصد: جڑوں کی برابری کی شرط سے نامعلوم عدد معلوم کرنا
