📚 ایکسرسائز 2.4: سوال با سوال وضاحت
(Question-by-Question Solution)
نوٹس میں موجود سوالات کیسے حل ہوئے ہیں، اس کی وضاحت درج ذیل ہے:
Question 1: $x + y = 7$ اور $x^2 – xy + y^2 = 13$ کو حل کریں[cite: 2]
Step 1 & 2: لکیری مساوات $x+y=7$ سے $y$ کی قیمت نکالی: $y = 7 – x$[cite: 2]۔ (نوٹس میں اسے مساوات 1 کہا گیا ہے)[cite: 2]۔
Step 3: یہ قیمت دوسری مساوات میں جہاں $y$ تھا، وہاں رکھی گئی[cite: 2]۔ مساوات بنی: $x^2 – x(7-x) + (7-x)^2 = 13$[cite: 2]۔
Step 4: بریکٹس کھولے گئے اور سادہ کیا گیا[cite: 2]۔ $x^2 – 7x + x^2 + (49 – 14x + x^2) = 13 \implies 3x^2 – 21x + 36 = 0$[cite: 2]۔ پوری مساوات کو 3 سے تقسیم کر کے $x^2 – 7x + 12 = 0$ حاصل کیا گیا[cite: 2]۔ تجزی (Factorization) کر کے $x$ کی قیمتیں $3$ اور $4$ نکالیں[cite: 2]۔
Step 5: جب $x=3$ ہو، تو $y = 7 – 3 = 4$[cite: 2]۔ جب $x=4$ ہو، تو $y = 7 – 4 = 3$[cite: 2]۔
Step 6: جواب (حل سیٹ): $\{(3, 4), (4, 3)\}$[cite: 2]
Question 2: $x – 2y = 1$ اور $x^2 + y^2 = 10$ کو حل کریں[cite: 2]
Step 1 & 2: لکیری مساوات $x-2y=1$ سے $x$ کی قیمت نکالنا آسان ہے: $x = 1 + 2y$[cite: 2]۔
Step 3: دو درجی مساوat میں $x$ کی جگہ قیمت رکھی: $(1+2y)^2 + y^2 = 10$[cite: 2]۔
Step 4: بریکٹ کھولی $(1 + 4y + 4y^2) + y^2 = 10 \implies 5y^2 + 4y – 9 = 0$[cite: 2]۔ تجزی کر کے $y$ کی قیمتیں $1$ اور $-\frac{9}{5}$ حاصل کیں[cite: 2]۔
Step 5: جب $y=1$ تو $x = 1+2(1) = 3$[cite: 2]۔ جب $y=-\frac{9}{5}$ تو $x = 1+2(-\frac{9}{5}) = 1-\frac{18}{5} = \frac{5-18}{5} = -\frac{13}{5}$[cite: 2]۔
Step 6: جواب (حل سیٹ): $\{(3, 1), (-\frac{13}{5}, -\frac{9}{5})\}$[cite: 2]
Question 3: $x – y = -1$ اور $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 3$ کو حل کریں[cite: 3]
طریقہ: دوسری مساوat کسر (fraction) میں ہے[cite: 3]۔ پہلے ایل سی ایم (LCM) لے کر اور ترچھی ضرب (cross multiplication) دے کر اسے سادہ کریں: $\frac{y+2x}{xy} = 3 \implies 2x + y = 3xy$[cite: 3]۔
اب Step 2 فالو کریں: لکیری مساوات $x-y=-1$ سے $y$ نکالیں: $y = x + 1$[cite: 3]۔
اس قیمت کو سادہ کی گئی دوسری مساوات میں درج کریں: $2x + (x+1) = 3x(x+1)$[cite: 3]۔
سادہ کرنے پر $3x+1 = 3x^2+3x \implies 1 = 3x^2$[cite: 3]۔
$x^2 = \frac{1}{3}$[cite: 3]۔ جزر (square root) لینے پر $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$[cite: 3]۔
جواب (حل سیٹ): نوٹس میں دیکھیں، $x$ کی دونوں قیمتوں کو $y=x+1$ میں رکھ کر حل سیٹ $(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, 1 \pm \frac{1}{\sqrt{3}})$ لکھا گیا ہے[cite: 3]۔
Question 4: $x + y = a$ اور $x^2 + y^2 = b$ کو حل کریں[cite: 3]
طریقہ: یہ سوال اعداد کی جگہ انگریزی حروف (a اور b) کے ساتھ ہے، لیکن حل کرنے کا طریقہ وہی ہے[cite: 3]۔
$x+y=a \implies y = a-x$[cite: 3]۔
دوسری مساوات میں قیمت رکھیں: $x^2 + (a-x)^2 = b \implies x^2 + (a^2 – 2ax + x^2) = b \implies 2x^2 – 2ax + a^2 – b = 0$[cite: 3]۔
یہ اب ایک دو درجی مساوات ہے جہاں $x^2$ کا ضریب 2، $x$ کا ضریب $-2a$ اور مستقل رقم $(a^2-b)$ ہے[cite: 3]۔ تجزی ممکن نہیں، اس لیے دو درجی فارمولا استعمال کیا گیا ہے[cite: 3]۔
فارمولے میں قیمتیں رکھ کر $x$ کی دو پیچیدہ قیمتیں نکلیں گی، جنہیں پھر $y=a-x$ میں رکھ کر $y$ معلوم کیا گیا ہے[cite: 3]۔ نوٹس میں حل سیٹ بہت احتیاط سے لکھا گیا ہے، اسے غور سے دیکھیں[cite: 3]۔
🌟 امتحانات کے لیے اہم ترین سوالات (Important Questions for Board Exams)
امتحانی نقطہ نظر سے طلباء ان سوالات پر خاص توجہ دیں:
Question 1 اور 2: یہ بنیادی سوالات ہیں اور اکثر شارٹ کوئسچن (Short Question) کے طور پر پوچھے جاتے ہیں[cite: 2]۔
Question 3: کسر (Fraction) والا سوال، یہ اہم ہے اور لانگ کوئسچن (Long Question) کے طور پر بھی آ سکتا ہے[cite: 3]۔
Question 4: حروف (a, b) والا سوال، یہ تھوڑا مشکل تصور ہوتا ہے اور اکثر لانگ کوئسچن (Long Question) میں دیا جاتا ہے[cite: 3]۔
امید ہے اب آپ کو ایکسرسائز 2.4 اچھی طرح سمجھ آ گئی ہوگی اور آپ نوٹس سے آسانی سے تیاری کر سکیں گے
