10th Maths - Unit 2 (Quadratic Equations) - MCQs Explanation
2.1: دو درجی مساوات (Quadratic Equation)
MCQ 1: کثیر رقمی (Polynomial) $-x+5x^{2}-7$ کا درجہ (degree) کیا ہے؟
وضاحت: کثیر رقمی میں متغیر (variable) کی سب سے بڑی پاور کو درجہ کہتے ہیں[cite: 1]۔ یہاں $x$ کی سب سے بڑی پاور 2 ہے[cite: 1]۔
درست آپشن: (b) 2
MCQ 2: دو درجی مساوات کس درجے کی کثیر رقمی مساوات ہوتی ہے؟
وضاحت: “دو درجی” کے نام سے ہی ظاہر ہے کہ اس کا درجہ دو (two) ہوتا ہے[cite: 2]۔
درست آپشن: (b) two
MCQ 3: ایک متغیر $x$ میں دو درجی مساوات کی معیاری شکل (standard form) کیا ہے؟
وضاحت: مساوات کی معیاری شکل $ax^{2}+bx+c=0$ ہے، جہاں $a \neq 0$ اور $a, b, c$ حقیقی اعداد ہیں[cite: 2]۔
درست آپشن: (c) $ax^{2}+bx+c=0$
MCQ 4: اگر مساوات $ax^{2}+bx+c=0$ میں $a=0$ ہو جائے تو مساوات بن جاتی ہے:
وضاحت: اگر $a=0$ ہو تو $x^2$ والی رقم ختم ہو جائے گی، اور صرف $bx+c=0$ رہ جائے گا، جو کہ ایک لکیری مساوات (linear equation) ہے[cite: 2]۔
درست آپشن: (a) a linear equation
MCQ 5: مساوات $ax^{2}+bx+c=0$ “خالص دو درجی مساوات (pure quadratic)” بن جاتی ہے جب:
وضاحت: خالص دو درجی مساوات میں $x$ کا ضریب (coefficient) صفر ہوتا ہے، یعنی $b=0$[cite: 2]۔ اس طرح مساوات $ax^2+c=0$ رہ جاتی ہے[cite: 2]۔
درست آپشن: (d) $b=0$
2.1.1: دو درجی مساوات کا حل (Solution of Quadratic Equation)
MCQ 6: “زیرو پروڈکٹ پراپرٹی (Zero Product Property)” کے مطابق اگر $ab=0$ ہو تو:
وضاحت: یہ پراپرٹی کہتی ہے کہ اگر دو رقموں کا حاصل ضرب صفر ہے، تو ان میں سے یا تو $a=0$ ہوگا یا $b=0$ ہوگا (یا دونوں صفر ہوں گے)[cite: 2]۔
درست آپشن: (b) Either $a=0$ or $b=0$
MCQ 7: ہر دو درجی مساوات کے زیادہ سے زیادہ کتنے حقیقی جذور (real roots) ہوتے ہیں؟
وضاحت: چونکہ درجہ دو ہے، اس لیے حل بھی زیادہ سے زیادہ دو (two) ہوتے ہیں[cite: 2]۔
درست آپشن: (a) two
MCQ 8: درج ذیل میں سے کسری مساوات (fractional equation) کونسی ہے؟
وضاحت: وہ مساوات جس میں متغیر (variable) بٹے (denominator) میں موجود ہو، کسری مساوات کہلاتی ہے[cite: 2]۔ آپشن ‘c’ میں $\frac{6}{x}$ موجود ہے، اس لیے یہ $\frac{2x}{5}+\frac{6}{x}+4=0$ درست ہے[cite: 2]۔
درست آپشن: (c) $\frac{2x}{5}+\frac{6}{x}+4=0$
MCQ 9: مساوات $2x^{2}-11x+12=0$ کا حل سیٹ (solution set) ہے۔
وضاحت: تجزی (Factorization) کرنے سے: $2x^2-8x-3x+12=0 \implies 2x(x-4)-3(x-4)=0 \implies (x-4)(2x-3)=0$۔ پس $x=4$ اور $x=3/2$۔ حل سیٹ $\{\frac{3}{2}, 4\}$ ہے[cite: 2]۔
درست آپشن: (a) $\{\frac{3}{2}, 4\}$
MCQ 10: مساوات $3x^{2}-32=-10x$ میں $x^2$ کے ضریب کو اکائی (unity, 1) بنانے کے لیے آپ کو کیا کرنا ہوگا؟
وضاحت: $x^2$ کے ساتھ 3 ہے، اسے 1 بنانے کے لیے ہر رقم کو 3 سے تقسیم کرنا ہوگا (divide every term by 3)[cite: 2]۔
درست آپشن: (b) divide every term by 3
MCQ 11: مساوات $(x+\frac{5}{3})^{2}=\frac{121}{9}$ کے دونوں طرف جزر لینے سے کیا نتیجہ آئے گا؟
وضاحت: جزر (square root) لینے پر مربع ختم ہو جائے گا، اور دائیں طرف $\pm$ کے ساتھ جزر آئے گا، جو کہ $x+\frac{5}{3}=\pm\frac{11}{3}$ ہے[cite: 3]۔
درست آپشن: (b) $x+\frac{5}{3}=\pm\frac{11}{3}$
MCQ 12: $ax^{2}+bx+c=0$ کو اس کے برابر شکل میں کیسے لکھا جا سکتا ہے؟
وضاحت: اگر مساوات کو $a$ سے تقسیم کریں تو یہ $x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ بن جاتی ہے، جو کہ تکمیل مربع میں استعمال ہوتی ہے[cite: 3]۔
درست آپشن: (c) $x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$
MCQ 13: مساوات $3x^{2}+7x-6=0$ کے لیے کونسا آپشن درست ہے؟
وضاحت: معیاری شکل $ax^2+bx+c=0$ سے موازنہ کریں تو $a=3, b=7, c=-6$ حاصل ہوتا ہے[cite: 3]۔
درست آپشن: (d) $a=3, b=7, c=-6$
MCQ 14: دو درجی تفاعل (quadratic function) کی راس شکل (vertex form) کیا ہے؟
وضاحت: راس شکل (Vertex form) $a(x-h)^{2}+k$ ہے، جہاں $(h, k)$ پیرابولا کا راس (vertex) ہے[cite: 3]۔
درست آپشن: (c) $a(x-h)^{2}+k$
MCQ 15: دو درجی مساوات کے گراف کو کیا کہتے ہیں؟
وضاحت: دو درجی مساوات کا گراف ‘U’ کی شکل کا ہوتا ہے جسے پیرابولا (parabola) کہتے ہیں[cite: 3]۔
درست آپشن: (a) parabola
2.2: گراف کے ذریعے تقاطع کا نقطہ معلوم کرنا (Finding Intersection Point Graphically)
MCQ 16: گراف پر لکیر $y=2x+4$ کا x-محور (x-axis) کے ساتھ تقاطع (intersection) کا نقطہ ہے۔
وضاحت: x-محور پر $y=0$ ہوتا ہے[cite: 3]۔ مساوات میں $y=0$ رکھیں: $0=2x+4 \implies 2x=-4 \implies x=-2$۔ پس نقطہ $(-2, 0)$ ہے[cite: 3]۔
درست آپشن: (b) $(-2,0)$
MCQ 17: مساواتوں $x+y=6$ اور $3x+y=12$ کے گرافوں کے تقاطع کا نقطہ ہے۔
وضاحت: دونوں مساواتوں کو حل کریں: پہلی سے $y=6-x$، دوسری میں رکھیں: $3x+(6-x)=12 \implies 2x=6 \implies x=3$۔ پھر $y=6-3=3$۔ نقطہ $M(3, 3)$ ہے[cite: 3]۔
درست آپشن: (c) $M(3,3)$
MCQ 18: سیدھی لکیر کھینچنے کے لیے، کم از کم دو الگ الگ کیا ہونا ضروری ہے؟
وضاحت: ایک منفرد سیدھی لکیر کھینچنے کے لیے کم از کم دو نقاط (points) ہونا ضروری ہیں[cite: 3]۔
درست آپشن: (d) points
2.3: جذور اور ضریبوں کے درمیان تعلق (Relationship Between the Roots and Coefficients)
MCQ 19: مساوات $ax^{2}+bx+c=0$ کے جذور کے مجموعہ (sum of roots) کا فارمولا کونسا ہے؟
وضاحت: جذور کے مجموعے کا فارمولا $-\frac{b}{a}$ ہے[cite: 3]۔
درست آپشن: (b) $-\frac{b}{a}$
MCQ 20: مساوات $2x^{2}+5x-7=0$ کے جذور کا حاصل ضرب (product of roots) کیا ہے؟
وضاحت: حاصل ضرب کا فارمولا $\frac{c}{a}$ ہے[cite: 3]۔ یہاں $c=-7$ اور $a=2$ ہے۔ پس حاصل ضرب $-\frac{7}{2}$ ہوگا[cite: 3]۔ (نوٹ: نوٹس میں ‘a’ پر نشان ہے جو کہ غلط ہے، درست حل ‘d’ ہے)۔
درست آپشن: (d) $-\frac{7}{2}$
MCQ 21: مساوات $5x^{2}-6x+1=0$ میں جذور کا مجموعہ کس کے برابر ہے؟
وضاحت: مجموعہ $= -\frac{b}{a}$[cite: 3]۔ یہاں $b=-6$ اور $a=5$ ہے۔ پس مجموعہ $= -(-6)/5 = \mathbf{\frac{6}{5}}$ ہوگا۔
درست آپشن: (a) $\frac{6}{5}$
MCQ 22: اگر $\alpha$ اور $\beta$ مساوات $7x^{2}-4x-8=0$ کے جذور ہوں تو $\alpha+\beta$ ہے۔
وضاحت: $\alpha+\beta$ جذور کا مجموعہ ہے، جو $-\frac{b}{a}$ کے برابر ہے[cite: 3]۔ یہاں $b=-4$ اور $a=7$ ہے[cite: 3]۔ پس مجموعہ $= -(-4)/7 = \mathbf{\frac{4}{7}}$ ہوگا۔
درست آپشن: (c) $\frac{4}{7}$
MCQ 23: دو درجی مساوات بنانے کا فارمولا ہے۔
وضاحت: مساوات بنانے کا فارمولا $x^{2}-Sx+P=0$ ہے، جہاں $S$ مجموعہ اور $P$ حاصل ضرب ہے[cite: 3]۔
درست آپشن: (c) $x^{2}-Sx+P=0$
MCQ 24: کس مساوات کے جذور 4 اور 5 ہیں؟
وضاحت: مجموعہ $S = 4+5 = 9$ اور حاصل ضرب $P = 4 \times 5 = 20$۔ فارمولے میں رکھیں: $x^{2}-9x+20=0$[cite: 4]۔
درست آپشن: (a) $x^{2}-9x+20=0$
MCQ 25: مساوات $(x-5)(x+7)=0$ کے جذور کیا ہیں؟
وضاحت: زیرو پروڈکٹ پراپرٹی استعمال کریں: $x-5=0 \implies x=5$ اور $x+7=0 \implies x=-7$۔ پس جذور $5, -7$ ہیں[cite: 4]۔
درست آپشن: (d) 5,-7
2.4: دو درجی مساوات کا فرق کنندہ (Discriminant)
MCQ 26: دو درجی مساوات میں عبارت $b^{2}-4ac$ کو کیا کہتے ہیں؟
وضاحت: اس عبارت کو مساوات کا فرق کنندہ (discriminant) کہتے ہیں، جو جذور کی نوعیت بتاتا ہے[cite: 4]۔
درست آپشن: (d) discriminant
MCQ 27: اگر $b^{2}-4ac>0$ ہو اور مکمل مربع (perfect square) بھی ہو تو جذور ہیں:
وضاحت: جب فرق کنندہ مثبت اور مکمل مربع ہو تو جذور ناطق (rational)، حقیقی (real) اور نابرابر (unequal) ہوتے ہیں[cite: 4]۔
درست آپشن: (a) rational, real and unequal
MCQ 28: جب $b^{2}-4ac=0$ ہو تو جذور ہوتے ہیں:
وضاحت: جب فرق کنندہ صفر ہو تو جذور حقیقی اور برابر (real and equal) ہوتے ہیں[cite: 4]۔
درست آپشن: (b) real and equal
MCQ 29: فرق کنندہ کے مطابق درج ذیل میں سے غیر ناطق (irrational) اور حقیقی جذور کونسا ہے؟
وضاحت: وہ رقم جو مکمل مربع کا جزر نہ ہو وہ غیر ناطق ہوتی ہے۔ یہاں $\sqrt{7}$ غیر ناطق اور حقیقی ہے[cite: 4]۔ (نوٹ: $\sqrt{25}=5$ ایک ناطق عدد ہے)۔
درست آپشن: (c) $\sqrt{7}$
MCQ 30: اگر جذور “پیچیدہ ہمزاد (complex conjugates)” ہوں تو فرق کنندہ ہونا چاہیے:
وضاحت: پیچیدہ ہمزاد جذور تب حاصل ہوتے ہیں جب فرق کنندہ منفی (negative) ہو[cite: 4]۔
درست آپشن: (c) negative
MCQ 31: مساوات $4x^{2}+4x+1=0$ کا فرق کنندہ ہے۔
وضاحت: فرق کنندہ $= b^2-4ac = (4)^2 – 4(4)(1) = 16 – 16 = \mathbf{0}$[cite: 4]۔
درست آپشن: (a) 0
MCQ 32: مساوات $2x^{2}+3x+4=0$ کا فرق کنندہ ہے۔
وضاحت: فرق کنندہ $= b^2-4ac = (3)^2 – 4(2)(4) = 9 – 32 = \mathbf{-23}$[cite: 4]۔
درست آپشن: (c) -23
MCQ 33: اگر مساوات $ax^{2}+bx+c=0$ کے جذور ناطق ہوں، تو $b^{2}-4ac$ لازمی طور پر کیا ہونا چاہیے؟
وضاحت: ناطق جذور کے لیے فرق کنندہ کا مکمل مربع (perfect square) ہونا لازمی ہے (تاکہ جزر ختم ہو سکے)[cite: 4]۔
درست آپشن: (b) perfect square
2.5: ایک متغیر میں دو درجی غیر مساوات کا حل (Solution of Quadratic Inequalities)
MCQ 34: درج ذیل میں سے غیر مساوات (inequality) کی علامت کونسی نہیں ہے؟
وضاحت: مساوات میں ‘=’ کی علامت استعمال ہوتی ہے، یہ غیر مساوات کی علامت نہیں ہے[cite: 4]۔
درست آپشن: (c) =
MCQ 35: غیر مساوات $x^{2}-5x+6>0$ کو حل کرنے کے لیے، کثیر رقمی کو صفر کے برابر رکھ کر کیا معلوم کرتے ہیں؟
وضاحت: کثیر رقمی کو صفر کے برابر رکھ کر ہم اس کے جذور (roots) یا فاصلی نقاط (critical points) معلوم کرتے ہیں[cite: 4]۔
درست آپشن: (c) roots
MCQ 36: مساوات $x^{2}-5x+6=0$ کے فاصلی نقاط (critical points) ہیں۔
وضاحت: تجزی کرنے سے جذور $x=2$ اور $x=3$ حاصل ہوتے ہیں[cite: 4]۔ چونکہ یہ گراف پر X-محور کو کاٹتے ہیں (جہاں $y=0$ ہے)، اس لیے فاصلی نقاط $(2,0)$ اور $(3,0)$ ہیں[cite: 4]۔
درست آپشن: (b) $(2,0)$ and $(3,0)$
MCQ 37: حل کے لیے ہم کھلا وقفہ (open interval) $(a,b)$ کب استعمال کرتے ہیں؟
وضاحت: کھلا وقفہ تب استعمال ہوتا ہے جب غیر مساوات میں صرف $<$ یا $>$ (less than or greater than) کی علامت ہو (یعنی برابر کی علامت شامل نہ ہو)[cite: 4]۔ (نوٹ: نوٹس میں پہلا آپشن ‘< اور <‘ ہے، جو کہ غالباً ‘< یا >’ ہونا چاہیے تھا)۔
درست آپشن: (a) <and < (بظاہر ‘a’ پر نشان ہے، لیکن یہ آپشن غلط لکھا گیا ہے)۔ درست تصور ‘b’ ہے۔
MCQ 38: حل کے لیے ہم بند وقفہ (closed interval) $[a,b]$ کب استعمال کرتے ہیں؟
وضاحت: بند وقفہ تب استعمال ہوتا ہے جب غیر مساوات میں $\le$ یا $\ge$ (less than or equal to, greater than or equal to) کی علامت ہو[cite: 4]۔
درست آپشن: (a) ≤ or ≥
MCQ 39: غیر مساوات $3x^{2}-5x+7\le0$ کے متعلقہ مساوات (corresponding equation) کونسی ہے؟
وضاحت: متعلقہ مساوات میں غیر مساوات کی جگہ صرف ‘=’ کی علامت لگا دیتے ہیں، یعنی $3x^{2}-5x+7=0$[cite: 4]۔
درست آپشن: (c) $3x^{2}-5x+7=0$
2.6: فارمولے کا موضوع تبدیل کرنا (Changing the Subject of Formula)
MCQ 40: اگر $I=PRT$ ہو، تو T کس کے برابر ہے؟
وضاحت: T کو الگ کرنے کے لیے، دونوں طرف $PR$ سے تقسیم کریں: $T = \mathbf{\frac{I}{PR}}$[cite: 5]۔ (نوٹ: آپشن ‘a’ ‘IPR’ ہے، آپشن ‘d’ ‘I/PR’ ہے، درست جواب ‘d’ ہے)۔
درست آپشن: (d) $\frac{I}{PR}$
MCQ 41: اگر $P=2(l+w)$ ہو، تو w کس کے برابر ہے؟
وضاحت: $2$ کو دوسری طرف لے جائیں: $l+w = P/2$۔ پھر $l$ کو دوسری طرف لے جائیں: $w = \mathbf{\frac{P}{2}-l}$ یا ایل سی ایم لے کر $\mathbf{\frac{P-2l}{2}}$[cite: 5]۔
درست آپشن: (a) $\frac{P-2l}{2}$
MCQ 42: اگر $S=2a+(n-1)d$ ہو، تو d کس کے برابر ہے؟
وضاحت: $2a$ کو دوسری طرف لے جائیں: $(n-1)d = S-2a$۔ پھر $(n-1)$ سے تقسیم کریں: $d = \mathbf{\frac{S-2a}{n-1}}$[cite: 5]۔
درست آپشن: (c) $\frac{S-2a}{n-1}$
MCQ 43: اگر $y^{2}=4ax$ ہو، تو x کس کے برابر ہے؟
وضاحت: $4a$ کو دوسری طرف لے جا کر تقسیم کریں: $x = \mathbf{\frac{y^{2}}{4a}}$[cite: 5]۔
درست آپشن: (b) $\frac{y^{2}}{4a}$
MCQ 44: اگر $P=\frac{1}{2}m(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})+mgh$ ہو، تو h کس کے برابر ہے؟
وضاحت: پہلے $\frac{1}{2}m(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})$ کو دوسری طرف لے جائیں: $mgh = P – \frac{1}{2}m(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})$۔ ایل سی ایم لیں: $mgh = \frac{2P – m(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})}{2}$۔ اب $mg$ سے تقسیم کریں: $h = \mathbf{\frac{2P-m(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})}{2mg}}$[cite: 5]۔ (نوٹ: مساوات میں جے لکھا ہے، جو کہ غالباً ‘gh’ ہونا چاہیے تھا)۔
درست آپشن: (a) $\frac{2P-m(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})}{2mg}$
MCQ 45: اگر $V=u+aw$ ہو، تو w کس کے برابر ہے؟
وضاحت: $u$ کو دوسری طرف لے جائیں: $aw = V-u$۔ پھر $a$ سے تقسیم کریں: $w = \mathbf{\frac{V-u}{a}}$[cite: 5]۔ (نوٹ: نوٹس میں ’45’ کے لیے ‘a’ کو درست کہا گیا ہے جو کہ غلط ہے، درست حل ‘d’ ہے)۔
درست آپشن: (d) $\frac{V-u}{a}$
MCQ 46: اگر $A=\frac{1}{2}bh$ ہو، تو h کس کے برابر ہے؟
وضاحت: $2$ سے ضرب دیں: $2A = bh$۔ پھر $b$ سے تقسیم کریں: $h = \mathbf{\frac{2A}{b}}$[cite: 5]۔ (نوٹ: مساوات میں ‘ten’ لکھا ہے جو کہ ‘then’ ہونا چاہیے تھا)۔
درست آپشن: (b) $\frac{2A}{b}$
MCQ 47: اگر $y=3x-5$ ہو، تو $x$ برابر ہے:
وضاحت: $-5$ کو دوسری طرف لے جائیں: $y+5 = 3x$۔ پھر $3$ سے تقسیم کریں: $x = \mathbf{\frac{y+5}{3}}$[cite: 5]۔
درست آپشن: (c) $\frac{y+5}{3}$
2.7: دو درجی مساوات کا روزمرہ زندگی میں اطلاق (Applications in Real World)
MCQ 48: ایک سیدھی لکیر میں یکساں اسراع (uniform acceleration) کے ساتھ حرکت کرنے والی چیز کے لیے، آخری رفتار $V_f$ کا فارمولا ہے:
وضاحت: حرکت کی پہلی مساوات کے مطابق: $V_f=V_i+at$[cite: 5]۔
درست آپشن: (c) $v_{i}+at$ (نوٹ: آپشن ’48’ کے لیے نوٹس میں ‘b’ لکھا ہے جو کہ غلط ہے، درست حل ‘c’ ہے)۔
MCQ 49: یکساں اسراع کے ساتھ حرکت کرنے والی چیز کے لیے، فاصلہ $S$ برابر ہے:
وضاحت: حرکت کی دوسری مساوات کے مطابق: $S=V_i t+\frac{1}{2}at^{2}$[cite: 5]۔
درست آپشن: (a) $v_{i}t+\frac{1}{2}at^{2}$
MCQ 50: فارمولا $V_f=V_i+at$ استعمال کرتے ہوئے، اگر $V_i=30$, $V_f=0$, $a=-2$ ہو، تو t برابر ہے:
وضاحت: قیمتیں رکھیں: $0 = 30 + (-2)t \implies 0 = 30 – 2t \implies 2t = 30 \implies t = \mathbf{15}$[cite: 5]۔
درست آپشن: (a) 15
MCQ 51: ہم کثیر رقمی کا راس (vertex) اس فارمولے سے بھی معلوم کر سکتے ہیں:
وضاحت: راس (Vertex) معلوم کرنے کا فارمولا ہے: $x=\frac{-b}{2a}$ اور $y=f(\frac{-b}{2a})$[cite: 5]۔
درست آپشن: (d) $x=\frac{-b}{2a}$ $y=f(\frac{-b}{2a})$
